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Curve piane Tra tutte le curve immaginabili quella più semplice è sicuramente la retta, anzi essa è talmente semplice che per alcuni non è neanche considerata una curva, si crede che ne sia l’esatto opposto! In matematica invece la retta è semplicemente una curva particolare, precisamente è quella curva che è definita come la curva più corta che unisce due punti. Della retta si potrebbero dire molte cose, vediamone alcune; è evidente che per un punto passano infinite rette, ma per due punti non coincidenti ne passa una sola, mentre per tre o più punti non coincidenti potrebbe non passarne nessuna, solo in certi casi può passare una retta. Una retta è costituita da infiniti punti, ed essa stessa è infinita da entrambe le parti. Esistono poi coppi particolari di rette, quelle parallele, cioè che non si incontrano mai e quelle perpendicolari, cioè che dividono il piano in quattro parti uguali. Le rette coincidenti sono invece quella rette che appunto coincidono. Si vede subito che due rette non possono mai, se non sono coincidenti, avere più di un punto in comune, in questo caso si dicono incidenti. CONICHE Passiamo ora a vedere una famiglia (una famiglia di curve comprende tutte le curve che hanno delle determinate caratteristiche) di curve leggermente più complessa della retta, ma sicuramente molto più interessante, le così dette coniche o curve di secondo ordine. Queste curve sono dette del secondo ordine perché nella geometria analitica sono tutte scrivibili come equazioni di secondo grado. Vediamo ora perché sono dette sezioni coniche, per prima cosa definiamo che cosa sia un cono; immaginiamo di avere due rette incidenti e tenerne ferma una e di di fare ruotare l’altra attorno al punto di contatto delle due rette: otterremo un solido infinito che ha l’aspetto di due coni uguali (così come si intende un cono nel senso comune) prolungati all’infinito attaccati per il vertice. Adesso passiamo allo studio di queste curve, dette più precisamente sezioni coniche, infatti pensiamo al cono di prima e immaginiamo che un piano perpendicolare a esso lo tagli ha una certa altezza, non nel vertice (in questo caso avremmo un punto, che è una circonferenza particolare detta degenere), la sezione, cioè la parte del piano che sta “dentro” al cono sarà un cerchio, e il perimetro di questa figura prende il nome di circonferenza. Questa figura ha moltissime proprietà, ed è di fondamentale importanza in matematica, essa è il luogo geometrico dei punti del piano (cioè l’insieme dei punti che stanno tutti su uno stesso piano, si dice anche che sono complanari) equidistanti da un punto fisso detto centro della circonferenza, questa distanza è detta raggio e il rapporto tra la semicirconferenza e il raggio da l’importantissimo p, uguali a circa 3.1415… (se sei interessato puoi scaricare qui le prime 20.000 cifre di p in formato word zippato, clicca con il tasto destro e poi su salva oggetto con nome). Se invece di considerare un piano perpendicolare al piano pensiamo a un piano inclinato, ma meno della retta che ha generato il cono, otteniamo una figura simile alla circonferenza, solo che è più allungata, o più schiacciata, l’ellisse, di cui la circonferenza non è che un caso particolare, dove i due fuochi coincidono nel centro, vediamo cosa sono i fuochi dell’ellisse, l’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi, è facile capire che nella circonferenza questo è vero se accettiamo che i due fuochi coincidano nel centro Vediamo ora delle belle proprietà di queste due curve, dette proprietà di riflessione, se abbiamo uno specchio circolare e mandiamo un raggio di luce verso lo specchio, dal centro esso torna esattamente indietro, questo si traduce nel dire che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza; anche questa proprietà non è che un caso particolare di un’analoga proprietà dell’ellisse, se cons (segue nel file da scaricare)
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