Densità di probabilità della differenza di variabili aleatorie

A cura di: Gianni Sammito

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie scalari aventi densità di probabilità congiunta $f_{X,Y} (xi, eta)$. Calcolare la densità di probabilità $f_{Z}(zeta)$ della variabile aleatoria $Z = X – Y$.

 

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Siano $bar{Z}$ e $bar{X}$ due variabili aleatorie vettoriali, definite come segue

 

$bar{Z} = [(Z),(X)] quad quad bar{X} = [(X),(Y)]$

 

La densità di probabilità di $bar{X}$  equivale alla densità di probabilità congiunta di $X$ e $Y$, così come la densità di probabilità di $bar{Z}$ equivale alla densità di probabilità congiunta di $Z$ e $X$.

La variabile aleatoria vettoriale $bar{Z}$ può essere così espressa

 

$bar{Z} = [(Z),(X)] = [(X – Y),(X)] = [(1, -1),(1, 0)] [(X),(Y)] = [(1, -1),(1, 0)] bar{X} = g(bar{X})$

 

dove $g(cdot)$ è per l'appunto l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice

 

$A =  [(1, -1),(1, 0)]$

 

Dette $xi$, $eta$, $zeta$ le realizzazioni delle variabili aleatorie $X$, $Y$, $Z$ rispettivamente, e posto

 

$bar{zeta} = [(zeta),(xi)] quad quad bar{xi} = [(xi),(eta)]$

 

allora $bar{zeta}$ e $bar{xi}$ sono le realizzazioni di $bar{Z}$ e $bar{X}$ rispettivamente, e la densità di probabilità di $bar{Z}$ vale

 

$f_{bar{Z}} (bar{zeta}) = sum_{i=1}^{m} frac{f_{bar{X}}(bar{xi_i})}{|det J(bar{xi_i})|}$

 

dove

 

$g(bar{xi_1}) = g(bar{xi_2}) = ldots = g(bar{xi_m}) = zeta$

 

e $J$ è la matrice Jacobiana di $g(cdot)$, e vale

 

$[(frac{partial}{partial xi} (xi – eta), frac{partial}{partial eta} (xi – eta)),(frac{partial}{partial xi} xi, frac{partial}{partial eta} xi)] = [(1, -1),(1, 0)]$

 

pertanto $det J = 1$. Dato che $A$ è una matrice invertibile, allora c'è un solo $bar{xi_i$ da determinare

 

$g(bar{xi_1}) = bar{zeta} quad implies quad bar{xi_1} = A^{-1} bar{zeta} = [(0, 1),(-1, 1)] [(zeta),(xi)] = [(xi),(xi – zeta)]$

 

quindi

 

$f_{bar{Z}}(bar{zeta}) = f_{bar{X}} (bar{xi_1})$

 

ovvero

 

$f_{Z, X}(zeta, xi) = f_{X,Y}(xi, xi – zeta)$

 

Dato che

 

$f_{Z}(zeta) = int_{-infty}^{+infty} f_{Z,X}(zeta, xi) d xi$

 

allora

 

$f_{Z}(zeta) = int_{-infty}^{+infty} f_{X,Y}(xi, xi – zeta) d xi$

 

Nel caso particolare in cui $X$ e $Y$ siano due variabili aleatorie indipendenti vale

 

$f_{Z}(zeta) = int_{-infty}^{+infty} f_{X}(xi) f_{Y}(zeta – xi) d zi$

 

FINE