A cura di: Stefano Sannella
Deteminare per quali valori del parametro $m$ la retta $y=x+m$ stacca sulla circonferenza
$x^2+y^2-2x+4y-4=0$ una corda la cui lunghezza è $3sqrt2$
Per trovare le intersezioni è necessario risolvere il sistema
${(y=x+m),(x^2+y^2-2x+4y-4=0):}$
Sostituiamo $y=x+m$ nell’equazione della circonferenza ottenendo:
$x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0$
da cui
$2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$
Ora affinchè ci siano due punti in comune tra la retta $y=x+m$ e la circonferenza si dovrà avere che il determinante dell’equazione $2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$ sia maggiore di zero, cioè:
$(m+1)^2-2(m^2+4m-4)>0$ cioè $m^2+6m-9<0$ cioè $-3(1+sqrt(2))<m<3(sqrt(2)-1)$.
Mostreremo che le soluzioni che troveremo in seguito rispettano questa condizione.
Ricaviamo ora le ascisse dei due punti dall’equazione
$2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$. Troviamo:
$x_1=(-(m+1)+sqrt(9-m^2-6m))/2$ e
$x2=(-(m+1)-sqrt(9-m^2-6m))/2$
da cui
$y_1=[(m-1)+sqrt(9-m^2-6m)]/2$ e
$y_2=[(m-1)-sqrt(9-m^2-6m)]/2$
Calcoliamo ora la distanza al quadrato:
$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=[sqrt(9-m^2-6m)]^2+[sqrt(9-m^2-6m)]^2=2*(9-m^2-6m)$
Imponendo che
$d^2=(3sqrt(2))^2=18$ si trova:
$18-2(m^2+6m)=18$ da cui $(m^2+6m)=0$ e cioè $m=0 U m=-6$ e sono valori entrambi accettabili perchè rispettano la condizione su $m$.
Prova 1:
$m=0 ->y=x$ che intersecata con la circonferenza dà:
$x_1=1$ e $y_1=1$
$x_2=-2$ e $y2=-2$ ed è facile vedere che la distanza è $3sqrt2$
Prova 2:
$m=-6->y=x-6$ che intersecata con la circonferenza dà:
$x_1=4$ e $y1=-2$,
$x_2=1$ e $y_2=-5$ e anche in tal caso è facile constatare che la distanza è $3sqrt2$
- Geometria analitica