Teorema di Varignon

TEOREMA DI VARIGNON.  Riassunto chiaro e completo sul teorema di Varignon. Il teorema di Varignon è impiegato in particolare nella statica (scienze delle costruzioni) per calcolare la risultante delle forze su una struttura, e nella geometria delle masse per calcolare il baricentro di sistemi di masse continui e discreti tramite coordinate cartesiane.

Il teorema di Varignon può essere espresso in due forme:

1. Un sistema di vettori le cui rette d’azione concorrono in uno stesso punto è equivalente alla risultante del sistema applicata allo stesso punto. Viceversa un vettore applicato in un punto può essere scomposto in un sistema equivalente di n vettori applicati allo stesso punto;
2. La somma algebrica dei momenti delle forze applicate rispetto un punto è uguale al momento della forza risultante del sistema di forze rispetto lo stesso punto.

M_1+M_2+?+M_n=M_r

Per momento si intende il momento statico, prodotto tra forza F applicata e distanza d dal punto P, inteso come centro del momento.

M=Fd

Espresso in funzione delle forze avremo:

F_1 d_1+F_2 d_2+?+F_n d_n=F_r b_r

Il teorema di Varignon si può facilmente dimostrare per un sistema di due forze (ma ha validità per sistemi di n forze). In tale dimostrazione di vedrà che il risultato sarà in accordo con il teorema delle proiezioni!
ESEMPIO TEOREMA DI VARIGNON. Vediamo ora un esempio in cui applicare tale teorema.

Esercizio:
Calcoliamo la risultante del sistema di forze che vediamo in figura attraverso il teorema di Varignon.

Dati:

F1 = 800 N;   F2 = 1600 N;   F3 = 300 N;   F4 = 2400 N;   d1 = 1 m;   d2 = 1,3 m;   d3 = 1,5 m

Sommando algebricamente le forze abbiamo l’intensità della risultante, che sarà:

R=∑_i?F_i =F_1+F_2-F_3+F_4=4500 N

F3 sarà negativa perché convenzionalmente abbiamo scelto come verso positivo quello delle forze che puntano verso il basso.

Ora per applicare il teorema di Varignon, e poter trovare il punto virtuale di applicazione della risultante, dobbiamo calcolare il momento statico di ciascuna forza rispetto un punto arbitrariamente scelto. Come si vede dalla figura prendiamo il punto P, situato sulla retta d’azione della F1.

R?b=F_1?b_1+F_2?b_2-F_3?b_3+F_4?b_4

Sempre dalla figura si vede che:

b1 = 0;   b2 = 1 m;   b3 = 2,3 m;   b4 = 3,8 m

quindi calcoliamo il braccio della risultante:

b=(F_1?b_1+F_2?b_2-F_3?b_3+F_4?b_4)/R=2,23 m