Tesina di Maturità sull’Irrazionalità

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Tesina svolta sull’Irrazionale: abstract

La dimostrazione matematica dell’esistenza dell’irrazionale si presuppone sia stata fatta prima del 410 a.C. e si attribuisce al pitagorico Ippaso di Metaponto. La risonanza di questa scoperta è di facile intuizione dato che Pitagora aveva posto alla base della sua scuola la convinzione dell’assolutezza dei numeri. Nel tentativo di esprimere la radice di 2 sotto forma di numero razionale e, quindi, come una frazione, Ippaso studiò la lunghezza della diagonale di un quadrato generico di lato l e diagonale d come in figura. Il teorema procede con una dimostrazione per assurdo come di seguito: Per il teorema di Pitagora si avrà l2 + l2 = d2 quindi d2 = 2l2; Si ottiene così la frazione d2/l 2= 2 che, ridotta ai minimi termini, si può esprimere come p2/q2 con p,q numeri primi tra loro; Si avrà  quindi p2 = 2q2 dunque p sarà  pari essendo necessariamente p2 dato dal prodotto di due numeri pari e, quindi, si può scrivere p = 2k con k numero intero; Sostituendo otterremo l’assurdo in quanto sarà 2q2 = 4k2 e quindi anche q sarà  pari il che, però, è impossibile dato che ipotizzato p e q primi tra loro e, invece, risultano essere entrambi multipli di 2. La particolarità  dei numeri irrazionali è che la loro espansione, in qualsiasi base venga scritta, non termina mai e non presenta periodicità il che significa che abbiamo solamente valori approssimativi dei valori decimali di numeri come radical 2, il rapporto aureo, p greco , e. Questi due ultimi numeri scritti fanno parte di una particolare tipo di numeri irrazionali: i numeri trascendenti che hanno la particolarità  di non poter essere soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali del tipo: anxn +an-1xn-1+â¦+a1x1+a0=0 con n≥1 e ai razionali e non tutti nulli. Un’importante applicazione di un numero irrazionale trascendente quale il numero di Nepero (e), per quanto riguarda la fisica, è quella del Circuito RC. Come si vede in figura esso è composto da un generatore, un tasto (S), un resistore (R) e un condensatore (C). Collegando S ad A, nel circuito creerà una differenza di potenziale data dal generatore, quindi, una corrente elettrica. Spostandoci sul circuito secondo il verso della corrente incontriamo una caduta di tensione in corrispondenza del resistore.

Maturità 2019: risorse utili

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