Grazie alla geometria proiettiva abbiamo già conosciuto una parte della geometria che opera senza fare ricorso a misura di angoli o segmenti. La topologia tratta di fatti geometrici che, per essere studiati, non esigono nemmeno i concetti di retta e piano, ma unicamente l'esistenza di una connessione continua fra i punti di una figura. Immaginiamo una figura costruita con un materiale deformabile ad arbitrio, ma ammettiamo che non siano possibili né la lacerazioni né saldature. La topologia ci dice che esistono delle proprietà che si conservano inalterate quando una figura costruita in questo materiale viene deformata a piacere. Per fare un esempio, tutte le proprietà topologiche della sfera appartengono anche all'ellissoide, al cubo e al tetraedro. Infatti da questi ultimi tre solidi si può arrivare alla sfera modificandoli in modo continuo (il significato è analogo a quello intuitivo), senza spaccature e senza saldature.
Nello sviluppo storico della geometria i problemi topologici si presentano, com'è naturale, più tardi di quelli proiettivi, e solo nel diciottesimo secolo. Più recentemente si constatò che gli enunciati topologici, malgrado la loro apparente indeterminazione, si collegano proprio con gli enunciati quantitativi astratti più precisi della matematica, e precisamente con l'algebra dei numeri complessi, con la teoria delle funzioni di variabili complesse e con la teoria dei gruppi. Attualmente la topologia, fra tutti i rami della matematica, è uno dei più fecondi, e dei più ricchi di risultati interessanti.
Osserviamo ora qualcosa sui poliedri. Per poliedro intendiamo ogni sistema di poligoni che in ogni spigolo ("lato" del poliedro) s'incontrino due e soltanto due di essi, formando un diedro, cioè in angolo in tre dimensioni, e che inoltre sia possibile arrivare da qualunque punto del sistema a qualunque altro oltrepassando degli spigoli. I poliedri più importanti sono quelli detti "semplici". Diamo questo nome ai poliedri che possono essere trasformati in sfere per mezzo di deformazioni continue. Esempi di poliedri semplici sono i poliedri regolari. Come abbiamo visto i poliedri regolari hanno inoltre la proprietà di non avere spigoli rientranti. Da ciò segue che i poliedri regolari sono convessi.
Noi chiamiamo convesso ogni poliedro che stia tutto da una sola parte di ognuna delle sue facce, che possa dunque essere appoggiato su un tavolo piano. La convessità non è una proprietà topologica, perché, con una modificazione senza importanza dal punto di vista topologico, possiamo trasformare un poliedro convesso in uno non convesso. Ma, d'altra parte, la convessità di un poliedro implica una proprietà topologica: infatti con un ragionamento tutt'altro che complicato risulta che ogni poliedro convesso è per forza semplice.
Tuttavia esiste un teorema, dovuto a Eulero, di tipo topologico che, essendo davvero straordinario, desidero enunciare: il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce di un poliedro semplice stanno tra loro in una relazione molto importante. Se V è il numero dei vertici, S il numero degli spigoli e F quello delle facce si ha V – S + F = 2. Questo teorema è molto importante in topologia, ed è molto bello, avendo valore generale, ovviamente è possibile dare una dimostrazione di questo teorema.
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