$|x-1|+2|x^2+5x+4|

A cura di: Francesco Speciale

$|x-1|+2|x^2+5x+4|<6x^2-x$

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$|x-1|+2|x^2+4x+4|<6x^2-x$
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli
Primo modulo
$x-1>=0 => x>=1$

Secondo modulo
$x^2+5x+4>=0$

$Delta=b^2-4ac=(5)^2-(4*(4)*1)=25-16=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-5+-sqrt9)/2=(-5+-3)/2 => x_1=-4 ^^ x_2=-1$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<=-4 vv x>=-1$.
Pertanto
Dobbiamo distinguere quattro casi:
Se ${(x<=-4),(-x+1+2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(x<=-4),(-x+1+2x^2+8x+8<6x^2-x):}$;
${(x<=-4),(-4x^2+10x+9<0):}$;
${(x<=-4),(4x^2-10x-9>0):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-5)^2-((-9)*4)=25+36=61$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(5+-sqrt(61))/4 => x_1=(5-sqrt(61))/4 ^^ x_2=(5+sqrt(61))/4$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(5-sqrt(61))/4 vv x>(5+sqrt(61))/4$.
Pertanto $S_1=x<=-4$

Se ${(-4<=x<=-1),(-x+1-2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(-4<=x<=-1),(-x+1-2x^2-8x-8<6x^2-x):}$;
${(-4<=x<=-1),(-8x^2-10x-7<0):}$;
${(-4<=x<=-1),(8x^2+10x+7>0):}$;
Come possiamo notare, la disequazione $8x^2+10x+7>0$ è verificata $AA x in RR$.
Pertanto $S_2=-4<=x<=-1$

Se ${(-1<=x<=1),(-x+1+2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(-1<=x<=1),(-x+1+2x^2+8x+8<6x^2-x):}$;
${(-1<=x<=1),(-4x^2+10x+9<0):}$;
${(-1<=x<=1),(4x^2-10x-9>0):}$;
Quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(5-sqrt(61))/4 vv x>(5+sqrt(61))/4$
Pertanto $S_3=-1<=x<(5-sqrt(61))/4$

Se ${(x>=1),(x-1+2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(x>=1),(x-1+2x^2+8x+8<6x^2-x):}$;
${(x>=1),(-4x^2+12x+7<0):}$;
${(x>=1),(4x^2-12x-7>0):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-6)^2-((-7)*4)=36+28=64$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(6+-sqrt(64))/4=(6+-8)/4 => x_1=-1/2 ^^ x_2=7/2$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<-1/2 vv x>7/2$.
Pertanto $S_1=x>7/2$

Pertanto soluzione della disequazione iniziale sarà:
$S=x<(5-sqrt(61))/4 vv x>7/2$.