$(x-sqrt2)/(x+sqrt2)-(x+3sqrt2)/(x-3sqrt2)=1-(6sqrt2x)/(x^2-2sqrt2x-6)$

A cura di: Francesca Ricci

$(x-sqrt2)/(x+sqrt2)-(x+3sqrt2)/(x-3sqrt2)=1-(6sqrt2x)/(x^2-2sqrt2x-6)$

Scomponiamo il denominatore dell'ultima frazione risolvendola
come se fosse un'equazione trinomia completa:

$x^2-2sqrt2x-6=0$

$x=(2sqrt2pmsqrt((2sqrt2)^2-4*(-6)))/2=$

$(2sqrt2pmsqrt(8+24))/2=$

$(2sqrt2pmsqrt(32))/2=$

$(2sqrt2pm4sqrt2)/2=$

$(2sqrt2+4sqrt2)/2=(6sqrt2)/2=3sqrt2$

$(2sqrt2-4sqrt2)/2=(-2sqrt2)/2=-sqrt2$

I risultati vanno scritti al denominatore cambiati di segno:

$(x-sqrt2)/(x+sqrt2)-(x+3sqrt2)/(x-3sqrt2)=1-(6sqrt2x)/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))$

Scriviamo le condizioni di accettabità:

$x!=-sqrt2^^x!=3sqrt2$

Calcoliamo ilm.c.m.:

$((x-sqrt2)*(x-3sqrt2)-(x+3sqrt2)*(x+sqrt2))/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))=((x+sqrt2)*(x-3sqrt2)-6sqrt2x)/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))$

Svoplgiamo le moltiplicazioni:

$(x^2-sqrt2x-3sqrt2x+6-(x^2+sqrt2x+3sqrt2x+6))/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))=(x^2+sqrt2x-3sqrt2x-6-6sqrt2x)/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $(x+sqrt2)*(x-3sqrt2)$:

$((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))*(x^2-sqrt2x-3sqrt2x+6-(x^2+sqrt2x+3sqrt2x+6))/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))=((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))*(x^2+sqrt2x-3sqrt2x-6-6sqrt2x)/((x+sqrt2)*(x-3sqrt2))$

$x^2-sqrt2x-3sqrt2x+6-(x^2+sqrt2x+3sqrt2x+6)=x^2+sqrt2x-3sqrt2x-6-6sqrt2x$

$x^2-sqrt2x-3sqrt2x+6-x^2-sqrt2x-3sqrt2x-6=x^2+sqrt2x-3sqrt2x-6-6sqrt2x$

Semplifichiamo:

$x^2-sqrt2x-3sqrt2x+6-x^2-sqrt2x-3sqrt2x-6-x^2-sqrt2x+3sqrt2x+6+6sqrt2x=0$

$-x^2+6=0$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $-1$ per cambiare segno:

$(-1)(-x^2+6)=0*(-1)$

$x^2-6=0$

$x^2=6$

$x=pmsqrt6$