A cura di: Gianni Sammito

Risolvere la seguente disequazione

 

$sin^3(x) + cos^3(x) > 0$

 


Ricordando il prodotto notevole

 

 

$(a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

 

risulta

 

$sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) – sin(x)cos(x) + cos^2(x)) = (sin(x) + cos(x))(1 – frac{sin(2x)}{2})$

 

La funzione $sin(2x)$ è limitata fra $-1$ e $1$, quindi $frac{sin(2x)}{2}$ è limitata fra $-frac{1}{2}$ e $frac{1}{2}$, di conseguenza $1 – frac{sin(2x)}{2} > 0$ $forall x in mathbb{R}$, pertanto la disequazione è soddisfatta per

 

$sin(x) + cos(x) > 0$

 

Le soluzioni dell'equazione associata si trovano risolvendo il sistema

 

${(sin(x) = – cos(x)),(sin^2(x) + cos^2(x) = 1):} = {(sin(x) = – cos(x)),(cos^2(x) + cos^2(x) = 1):} = {(sin(x) = – cos(x)),(cos(x) =pm frac{sqrt{2}}{2}):}$

 

da cui

 

$x_1 = – frac{pi}{4} + 2 k pi quad quad x_2 = frac{3}{4} pi + 2 k pi$

 

Pertanto la soluzione della disequazione è

 

$- frac{pi}{4} + 2 k pi < x < frac{3}{4} pi + 2 k pi quad quad k in mathbb{Z}$

 

FINE