A cura di: Stefano Sannella
Si risolva
$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$
Questa disequazione va trattare studiando il comportamento di numeratore e denominatore separatamente.
Prendiamo il numeratore
$sqrtx+sqrt(x-2)-1 ge 0$.
Come dominio d’esistenza si ha
$x ge 2$
e sostituendo $x=2$ si nota che è verificata, cioè
$sqrtx+sqrt(x-2) ge 1$
Per $x>2$ è evidente che risulta verificata perchè i termini in $x$ possono solo aumentare. Quindi il numeratore è maggiore di zero per ogni valore del dominio $x ge 2$ Inoltre non potrà mai essere $=0$ perchè il dominio di esistenza lo esclude.
Ci siamo risparmiati la quadratura (bisognava effettuarne 2).
Pertanto, possiamo riassumere che il dominio coincide con l’insieme delle soluzioni, che è
$x>=2$
Ora passiamo al denominatore
$sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)>0$
Il dominio è
$x ge -5$
Infatti il primo radicando risulta essere positivo per ogni $x$.
Bisogna quindi verificare quando:
$sqrt(x^2+3)>sqrt(x+5)$
Quadrando
$x^2+3>x+5$
$x^2-x-2>0$
Le radici dell’equazione associata sono
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8))/2=(1+-3)/2$
$x_1=2$
$x_2=-1$
Dunque è verificata per $x le -1$ unito a $x>2$ (valori esterni).
In ogni caso dobbiamo eliminare l’intervallo $x<=1$ perchè dobbiamo tener conto del dominio del numeratore.
Perciò anche qui l’insieme delle soluzioni è
$x>2$
Ora osserviamo il quadro generale.
Il numeratore è sempre positivo, quindi la positività della frazione è assicurata solo se anche il denominatore è positivo.
In definitiva il risultato di $(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$ è:
$x>2$
Escludiamo il caso $x=2$ perchè il denominatore si annulla per tale valore.
FINE
- Disequazioni