A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente disequazione

$(x^2 – 2)/(x^3 – 2x^2 + 4x – 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x – 2)$


Iniziamo a portare tutti gli addendi al primo membro.

$(x^2 – 2)/(x^3 – 2x^2 + 4x – 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) – 1/(x – 2) >= 0$

Ora scomponiamo il denominatore della prima frazione. Esso si annulla per $x=2$ e usando dunque Ruffini si giunge a

$(x^2 – 2)/((x^2 + 4)(x – 2 )) + (x + 2)/(x^2 + 4) – 1/(x – 2) >= 0$

Ora possiamo calcolare il minimo comun denominatore e ridurre il tutto a una sola frazione.

 

Facendo dei semplici calcoli, si giunge a

$(x^2 – 2 + (x + 2)(x – 2) – 1(x^2 + 4))/((x^2 + 4)(x – 2)) >= 0$

Svolgendo i prodotti che riguardano le parentesi, si ha

$(x^2 – 2 + x^2 – 4 – x^2 – 4)/((x^2 + 4)(x – 2)) >= 0$

e sommando

$(x^2 – 10)/((x^2 + 4)(x – 2)) >= 0$

 

La forma della disequazione è abbastanza semplice. Possiamo effettuare un’ulteriore semplificazione.

Il fattore

$x^2+4$ è sempre positivo strettamente (cioè nemmeno può essere nullo) perchè è la somma di due quantità positive.

Perciò possiamo trascurarlo nello studio del segno.

 

La disequazione si riduce a

$(x^2 – 10)/(x – 2) >= 0$

possiamo anche scrivere

$((x – sqrt10)(x+sqrt10))/(x – 2) >= 0$

Perciò possiamo segnare sulla solita retta che si disegna in questi casi 3 valori: $-sqrt10$ , $2$ , $sqrt10$

Il numeratore risulta positivo per valori esterni ai due radicali: il denominatore è positivo per $x>2$

Si vengono a formare 4 intervalli: i due per i quali abbiamo che la frazione è positiva sono

$-sqrt10<=x<2$

e

$x>=sqrt10$

Notiamo che prendiamo in considerazione anche i valori $x=-sqrt10$ e $x=sqrt10$ perchè per tali valori la frazione è nulla.

Per $x=2$ la frazione non è definita.

 

FINE