A cura di: Stefano Sannella
Si risolva la seguente disequazione
$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$
$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$
Posto $t=x^3$ si ha
$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6>0$
e l’equazione associata risulta
$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6=0$
Il discriminante risulta
$Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2-12sqrt6+(2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2+12sqrt6+(2sqrt2)^2$
e quindi nell’ultimo membro di questa catena di uguaglianze possiamo riconoscere lo sviluppo di un quadrato di binomio
$Delta = (3sqrt3+2sqrt2)^2$
Quindi le soluzioni dell’equazione associata risultano, usando la nota formula,
$t_1=(-3sqrt3+2sqrt2 + (3sqrt3+2sqrt2))/2=2sqrt2$
$t_2=(-3sqrt3+2sqrt2 – (3sqrt3+2sqrt2))/2=-3sqrt3$
Quindi la disequazione ha soluzioni
$t < -3sqrt3 quad t > 2sqrt2$
da cui, ricordando che $t=x^3$, si avrà
$x^3 < -3sqrt3 quad x^3 > 2sqrt2$
e infine
$x < -sqrt3 quad x > sqrt2$
Infatti risulta essere, usando la regola del portar dentro,
$-3sqrt3=sqrt(-27)$
e anche
$sqrt2=sqrt8$
e a questo punto è facile estrarre la radice cubica
Il trucco sta tutto nella manipolazione del delta. Se si cade nella tentazione di sommare i due quadrati dello sviluppo del primo quadrato di binomio si ottiene
$Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=27-12sqrt6+8+24sqrt6=35+12sqrt6$
che richiederebbe l’uso della formula che tratta i radicali doppi.
Presentiamo anche una via più semplice per risolvere la disequazione
$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$
moltiplicando ottengo
$x^6+3sqrt3 x^3 -2sqrt2x^3-6sqrt6>0 $
con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene
$(x^3+3sqrt3)*(x^3 -2sqrt2)>0$
Studio il segno dei due fattori
$x^3> -3sqrt3 –> x> -sqrt3 $
$x^3 -2sqrt2>0 –> x> sqrt2$
attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene
$x< -sqrt3$
$x> sqrt2$
FINE
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