Una funzione definita in un intervallo si dice continua in un punto appartenente all’intervallo se il valore della funzione in quel punto è uguale al valore del limite della funzione per x che tende al punto considerato.
$lim_(x to x_0)(f(x))=f(x_0)$
Questo equivale a dire che esiste la funzione in quel punto, che esiste il limite, e che i due valori sono uguali. Anche se esiste solo il limite sinistro o destro la funzione risulta continua a sinistra o a destra.
Per i teoremi sui limiti se due funzioni sono continue in un punto risulterà continua anche la loro somma, la differenza, il prodotto e il quoziente delle due funzioni (purchè non si annulli la funzione al denominatore).
Se una funzione è continua in ogni punto di un intervallo la funzione è continua nell’intervallo. Dal punto di vista intuitivo la continuità di una funzione è collegata alla possibilità di disegnarla con un tratto continuo in ogni punto di un intervallo.
Quindi non sono continue le funzioni che in qualche punto assumono valori infiniti, o non sono definite o assumano valori diversi se la curva è percorsa da sinistra o da destra.
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