$ln^2x-root(5)(lnx)>0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente disequazione

$ln^2x-root(5)(lnx)>0$

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Osserviamo subito che in questa disequazione c’è una radice scomoda, ma che può essere tolta eseguendo un’elevazione a potenza opportuna, in questo caso di esponente $5$. Portando $root(5)(lnx)$ al secondo membro, ed elevando il tutto alla quinta, si ha

$ln^10x>lnx$

ovvero

$ln^10x-lnx>0$

Risolvere questa disequazione equivale a risolvere il seguente sistema

${(x>0),(ln^10x-lnx>0):}$

Infatti la disequazione

$x>0$ si rende necessaria perchè non possiamo accettare soluzioni che rendano negativo l’argomento del logaritmo.

Si ha

${(x>0),(lnx(ln^9x-1)>0):}$

Risolviamo $lnx(ln^9x-1)>0$. Posto $lnx=t$ si deve risolvere $t(t^9-1)>0$

La parentesi $t^9-1$ può essere trattata come differenza tra due cubi, infatti

$t^9=(t^3)^3$ e $1=1^3$

Perciò

$t(t^9-1)=t(t^3-1)(t^6+t^3+1)>0$ che a sua volta, eseguento un’altra scomposizione, diviene

$t(t-1)(t^2+t+1)(t^6+t^3+1)>0$

Le ultime due parentesi sono falsi quadrati, che sono sempre positivi, pertanto possono essere trascurati perchè non influiscono sul segno.

Il tutto si riduce a

$t(t-1)>0$ che molto facilmente restituisce

$t<0$ U $t>1$ cioè

$lnx<0$ $<=>$ $0<x<1$ U $lnx>1$ $<=>$ $x>e$

Per cui $lnx(ln^9x-1)>0$ $<=>$ $0<x<1$ U $x>e$

Per cui la disequazione originaria

$ln^2x-root(5)(lnx)>0$ equivale al sistema

${(x>0),(0<x<1 text(U) x>e):}$

ovvero

$0<x<1$ U $x>e$

FINE