Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso, derivabile nello stesso intervallo aperto, assume valori uguali all’estremo dell’intervallo esiste un punto all’interno dell’intervallo in cui la derivata si annulla. Ovvero ci sarà un massimo o un minimo. Nulla osta che ci siano più punti in cui la derivata si annulla oppure potrebbe essere sempre nulla e in questo caso non ci sarebbero punti di massimo o minimo ma la funzione sarebbe costante ed avrebbe la derivata sempre nulla. Bisognerà verificare se le condizioni di sussistenza del teorema si verificano. Per esempio la funzione potrebbe non avere la derivata in qualche punto (ad esempio in un punto angoloso) in tal caso potrebbe esserci un valore massimo o minimo ma la derivata in quel punto non si annulla.
Esempi: y=|x| nel’intervallo [-2,2] non sono verificate le condizioni del teorema in quanto in 0 c’è un punto angoloso.
Per $y=(3x+1)/x+2$ nell’intervallo [-4,3] non sono soddisfatte le condizioni essendo in x=-2 il denominatore uguale a 0 e quindi la funzione non è continua in tutto l’intervallo.