$x(log^2 x +log x)>=0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva le seguente disequazione

$x(log^2 x +log x)>=0$

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Dobbiamo innanzitutto definire il dominio: in questo caso c’è solo da imporre esistenza del logaritmo, che è assicurata se e solo se l’argomento è strettamente positivo

$x>0$

 

Ora pssiamo alla risoluzione della disequazione

$x(log^2 x +log x)>=0$,

ma dal momento che $x>0$ per l’esistenza del logaritmo, allora dobbiamo risolvere la sola disequazione $(log^2 x +log x)>=0$.

Infatti abbiamo diviso ambo i membri per $x$: malgrado dividere entrambi i membri per un valore variabile (contenente $x$) è pericoloso in una disequazione per via del segno, questa volta possiamo stare tranquilli perchè il dominio che noi stessi abbiamo definito assicura la positività di $x$

Ora ponendo

$logx=t$

la disequazione diventa

$t^2+t>=0$

ovvero

$t(t+1)>=0$

cioè, osservando che le radici dell’equazione associata sono banalmente

$x=0$

$x=-1$

e sapendo che occorre considerare i valori esterni ad essi per garantire la positività, avremo

$t>=0$ U $t<=-1$

Ora per $t>=0$ si avrà

$logx>=0$ $->$ $x>=1$,

mentre per

$t<=-1$ si ha

$logx<=-1$ $->$ $0<x<=1/e$

In conclusione devono essere verificate contemporaneamente le due condizioni

1)$x>0$

2)$x>=1$ U $0<x<=1/e$

che comportano che la disequazione $x(log^2 x +log x)>=0$ è soddisfatta per

$0<x<=1/e$ U $x>=1$.

 

FINE