Limite $\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(x))^{"tg"(x)} - 1}{x^3}$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to 0} frac{(cos(x))^{"tg"(x)} – 1}{x^3}$

 

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Ricordando le proprietà dei logaritmi, e con un po' di passaggi algebrici, il limite si può scrivere in questa forma

 

 

$lim_{x to 0} frac{e^{ln(cos(x))^{"tg"(x)}} – 1}{x^3} = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"(x) ln(cos(x))} – 1}{"tg"(x) ln(cos(x))} cdot frac{"tg"(x) ln(cos(x))}{x^3} = $

 

$ = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"(x) ln(cos(x))} – 1}{"tg"(x) ln(cos(x))} cdot frac{"tg"(x)}{x} cdot frac{ln[1 + (cos(x) -1)]}{x^2} = $

 

$ =  lim_{x to 0} frac{e^{"tg"(x) ln(cos(x))} – 1}{"tg"(x) ln(cos(x))} cdot frac{"tg"(x)}{x} cdot frac{ln[1 + (cos(x) -1)]}{cos(x) – 1} cdot frac{cos(x) – 1}{x^2} cdot frac{cos(x) + 1}{cos(x) + 1} = $

 

$=  lim_{x to 0} frac{e^{"tg"(x) ln(cos(x))} – 1}{"tg"(x) ln(cos(x))} cdot frac{"tg"(x)}{x} cdot frac{ln[1 + (cos(x) -1)]}{cos(x) – 1} cdot frac{cos^2(x) – 1}{x^2} cdot frac{1}{cos(x) + 1} = $

 

 $=  lim_{x to 0} frac{e^{"tg"(x) ln(cos(x))} – 1}{"tg"(x) ln(cos(x))} cdot frac{"tg"(x)}{x} cdot frac{ln[1 + (cos(x) -1)]}{cos(x) – 1} cdot frac{-sin^2(x)}{x^2} cdot frac{1}{cos(x) + 1} = $

 

$=  lim_{x to 0} frac{e^{"tg"(x) ln(cos(x))} – 1}{"tg"(x) ln(cos(x))} cdot frac{"tg"(x)}{x} cdot frac{ln[1 + (cos(x) -1)]}{cos(x) – 1} cdot (frac{sin(x)}{x})^2 cdot frac{-1}{cos(x) + 1} = 1 cdot 1 cdot 1 cdot 1 cdot (-frac{1}{2}) = -frac{1}{2}$

 

dove all'ultimo passaggio sono stati usati i seguenti limiti notevoli

 

$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$

 

$lim_{t to 0} frac{ln(1+t)}{t} = 1$

 

$lim_{t to 0} frac{sin(t)}{t}  = 1$

 

$lim_{t to 0} frac{"tg"(t)}{t} =1$

 

FINE