Limite $\lim_{x \to +\infty} x[(1 + \frac{\ln(10)}{x})^x - 10]$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to +infty} x[(1 + frac{ln(10)}{x})^x – 10]$

 

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Considerando che

 

$lim_{x to +infty} (1 + frac{ln(10)}{x})^x = e^{ln(10)} = 10$

 

si nota che il limite si presenta sotto la forma $infty cdot 0$. Mettendo in evidenza un $10$, e ricordando le proprietà dei logaritmi, si ottiene

 

$lim_{x to +infty} 10x (e^{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} – 1) = lim_{x to +infty} 10x frac{e^{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} – 1}{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x] =$

 

$ = lim_{x to +infty} (10x cdot ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x])  frac{e^{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} – 1}{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} =$

 

$ = 10 lim_{x to +infty} x (ln(frac{1}{10}) + x ln(1 + frac{ln(10)}{x})) cdot frac{e^{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} – 1}{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]}$

 

Ricordando il limite notevole

 

$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$

 

si nota che

 

$lim_{x to +infty} frac{e^{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} – 1}{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} = 1$

 

Ora conviene calcolare

 

$lim_{x to +infty} x(ln(frac{1}{10}) + x ln(1 + frac{ln(10)}{x}))$

 

usando il teorema di de l'Hopital.

 

$lim_{x to +infty} x(ln(frac{1}{10}) + x ln(1 + frac{ln(10)}{x})) = lim_{x to +infty} frac{ln(frac{1}{10}) + x ln(1 + frac{ln(10)}{x})}{frac{1}{x}} =$

 

$ = lim_{x to +infty} frac{ln(1 + frac{ln(10)}{x}) + x cdot frac{x}{x + ln(10)} cdot (frac{-ln(10)}{x})}{-frac{1}{x^2}} =$

 

$ = lim_{x to +infty} frac{ln(1 + frac{ln(10)}{x}) – frac{ln(10)}{x + ln(10)}}{-frac{1}{x^2}} =$

 

$ = lim_{x to +infty} frac{frac{x}{x + ln(10)} (-frac{ln(10)}{x^2}) + frac{ln(10)}{(x + ln(10))^2}}{frac{2}{x^3}} =$

 

$ = lim_{x to +infty} frac{frac{-xln(10) – ln^2(10) + x ln(10)}{x(x + ln(10))^2}}{frac{2}{x^3}} = lim_{x to +infty} frac{-ln^2(10)}{x^3 (1 + frac{ln(10)}{x})^2} cdot frac{x^3}{2} = -frac{ln^2(10)}{2}$

 

Pertanto il limite proposto vale

 

$10 lim_{x to +infty} x (ln(frac{1}{10}) + x ln(1 + frac{ln(10)}{x})) cdot frac{e^{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} – 1}{ln[frac{1}{10} (1 + frac{ln(10)}{x})^x]} = 10 cdot frac{-ln^2(10)}{2} cdot 1 = -5 ln^2(10)$

 

FINE