Limiti sviluppo di Taylor $\lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{x (\cos(x) - e^{x^2})}$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{x (cos(x) – e^{x^2})}$

 

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Il limite si può riscrivere in questa forma

 

 

$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x} frac{1}{cos(x) – e^{x^2}} = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{x^2}{cos(x) – e^{x^2}}$

 

Ricordando gli sviluppi di Taylor del coseno e dell'esponenziale:

 

$e^{t} = 1 + t + frac{t^2}{2} + o(t^2)$

 

$cos(t) = 1 – frac{t^2}{2} + o(t^3)$

 

il limite diventa

 

$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{x^2}{1 – frac{x^2}{2} + o(x^3) – 1 – x^2 + o(x^3) } = $

$ =  lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{x^2}{ – frac{3}{2} x^2  + o(x^3) } = lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{1}{ – frac{3}{2} + o(x)}$

 

Ricordando i limiti notevoli

 

$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$

 

$lim_{t to 0} frac{"tg"(t)}{t} = 1$

 

e osservando che per $x to 0$ risulta $"tg"(x) to 0$ e $o(x) to 0$ si ottiene

 

$lim_{x to 0} frac{e^{"tg"^3(x)} – 1}{"tg"^3(x)} frac{"tg"^3(x)}{x^3} frac{1}{ – frac{3}{2} + o(x)} = 1 cdot 1 cdot (-frac{2}{3}) = – frac{2}{3}$

 

FINE