Considerate le curve $y=x$ $y=x^2$ e $y=x^3$ Preso su ognuna di esse un punto...

A cura di: Stefano Sannella

Considerate le curve

$y=x$

$y=x^2$ e

$y=x^3$

Preso su ognuna di esse un punto di uguale ascissa a con $0<=a<=1$ e considerato il punto $A(1;1)$ determinare il limite per $a->1^(-)$ del rapporto delle distanze del punto su $y=x^2$ dai corrispondenti $y=x$ e $y=x^3$

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Sia $Pequiv (a;a)$ il punto da scegliere preso sulla retta.

Sia $P’equiv (a;a^2)$ il punto da scegliere preso sulla parabola e di uguale ascissa al primo.

Sia $P” equiv (a;a^3)$ il punto da scegliere sulla cubica di uguale ascissa ai primi due.

Chiamiamo $d_1$ la distanza tra $P’$ e $P$: si avrà

$d_1=|a^2 – a|=a-a^2$

Abbiamo tolto il modulo e cambiato i segni per il fatto che per $a in [0;1] subset mathbb{R}$ si ha $a^2-a<0$.

Ora chiamiamo $d_2$ la distanza tra $P’$ e $P”$:

$d_2=|a^2-a^3|=a^2-a^3$ ove il modo di togliere il modulo è dovuto al fatto che per $a in [0;1] subset mathbb{R}$ si ha $a^2-a^3>0$.

Abbiamo dunque trovato il modo di esprimere i segmenti in funzione del parametro $a$.

Si ha che il limite cercato è

$lim_{a to 1}( a-a^2 )/( a^2-a^3 )=lim_{a to 1}( 1-a )/( a-a^2 )=[0/0]$

che risolto con De L’Hopital dà: $lim_{a to 1}( -1 )/( 1-2a )=(-1)/(-1)=1$

O senza ricorrere a De L’Hopital, semplificando abbiamo

$lim_{a to 1}( 1-a )/( a-a^2 )=lim_(ato 1) (1-a)/(a(1-a))=lim_(ato 1) 1/(a)=1/1=1$

FINE