$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.........$

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare il valore della seguente somma.

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+………$

 

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Mettiamo la radice di 2 in evidenza:

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+…. = sqrt(2) * (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….)$

Per quanto riguarda la parentesi abbiamo:

$1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …. = -1/2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …$

quindi, sapendo che (progressione geometrica)

$1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2$

troviamo subito

$-1/2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = -1/2 + 2 = 3/2$ ;

abbiamo dunque che

$sqrt(2) * (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….) = sqrt(2) * (3/2) = (3 sqrt(2))/2$

 

FINE