A cura di: Stefano Sannella

Calcolare
$int 1/sin(2x) dx$

Soluzione 1

Possiamo usare le formule parametriche, ricordando che

$sin(2x) = frac{2 "tg"(x)}{1 + "tg"^2(x)}$

L’integrale dunque diventa

$int frac{1 + "tg"^2(x)}{2 "tg"(x)} dx$

Posto $t := "tg"(x)$, da cui $dt = (1 + "tg"^2(x)) dx$, si ottiene ovviamente $dx = (dt)/(1 + "tg"^2(x))$, pertanto

$int frac{1}{2t} dt = frac{1}{2} ln(|t|) + c$

da cui

$int frac{1}{sin(2x)} dx = frac{1}{2} ln(|"tg"(x)|) + c$

Soluzione 2

Senza usare le formule parametriche, possiamo basarci sull’identità seguente
$1/(sin(2x))=(sin^2(x)+cos^2(x))/(2sin(x)cos(x))=1/2tg(x)+1/2cotg(x)$
Per cui
$int1/(sin(2x))dx=1/2int tg(x)dx+1/2int cotg(x)dx=$
$=-1/2ln|cos(x)|+1/2ln|sin(x)|+k$
Usando note proprietà dei logaritmi giungiamo al risultato della sol.1
$1/2ln|tg(x)|+k$

FINE