A cura di: Gianni Sammito

Calcolare il seguente integrale indefinito:

 

$int frac{1}{(1+x^2)^2}dx$

 


Ponendo $t = "arctg"(x)$ si ottiene $dt = frac{1}{1+x^2}dx$ e $x = "tg"(t)$, e l'integrale di partenza si può riscrivere come

 

 $int frac{1}{(1+x^2)^2}dx = int frac{1}{1+"tg"^2(t)}dt = int frac{1 + "tg"^2(t) – "tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)}dt = int dt – int frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)}dt = $

$ = t – frac{1}{2} int "tg"(t) frac{2 "tg"(t)}{1 + "tg"^2(t)}dt$ (1)

 

Ricordando la relazione $"tg"(t) = frac{sin(t)}{cos(t)}$, e ricordando che secondo le formule parametriche vale

 

$frac{2 "tg"(t)}{1 + "tg"^2(t)} = sin(2t)$ (2)

 

(1) si può riscrivere come

 

$t – frac{1}{2} int frac{sin(t)}{cos(t)} sin(2t) dt = t – int frac{1}{2} frac{sin(t)}{cos(t)} 2 sin(t) cos(t) dt = $

$ = t – int sin^2(t) dt = t – int (frac{1}{2} – frac{cos(2t)}{2}) dt = t – frac{t}{2} + frac{sin(2t)}{4} = frac{t}{2} + frac{sin(2t)}{4}$ (3)

 

Vista la sostituzione fatta in precedenza, $t = "arctg"(x)$, (3) si può riscrivere così:

 

$frac{"arctg"(x)}{2} + frac{sin(2 "arctg"(x))}{4}

 

Ricordando la formula (2) il risultato precedente si può scrivere nel seguente modo

 

$frac{"arctg"(x)}{2} + frac{1}{4} frac{2 "tg"("arctg"(x))}{1 + "tg"^2("arctg"(x))}$

 

Ricordando l'identità $"tg"("arctg"(x))  = x$, valida $forall x in mathbb{R}$, il risutato dell'integrale è

 

 $int frac{1}{(1+x^2)^2}dx = frac{"arctg"(x)}{2} + frac{1}{2} frac{x}{1+x^2}$

 

FINE