A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$int int_{T} e^{(y – 2)^2}dxdy$

 

dove $T$ è il triangolo delimitato in $mathbb{R}^2$ dalle rette $x=0$, $y=0$, $y – x = 2$.

 


Il dominio di integrazione può essere scritto in questi due modi:

 

$T = {(x,y) in mathbb{R}^2 : -2 le x le 0, 0 le y le x + 2}$ (1)

 

$T = {(x,y) in mathbb{R}^2 : 0 le y le 2, y – 2 le x le 0}$ (2)

 

Se viene adottata la rappresentazione (1) l'integrale doppio non può essere risolto in forma chiusa, dato che la funzione $e^{(y – 2)^2}$ non ammette primitive esprimibili in forma elementare; se invece viene usata la rappresentazione (2) si ottiene

 

$int int_{T} e^{(y – 2)^2}dxdy = int_{0}^{2} int_{y – 2}^{0} e^{(y – 2)^2}dxdy = – int_{0}^{2} (y – 2) e^{(y – 2)^2} dy =$

$= – frac{1}{2} int_{0}^{2} 2(y – 2) e^{(y – 2)^2}dy = – frac{1}{2} [e^{(y – 2)^2}]_{0}^{2} = – frac{1}{2} (1 – e^4) = frac{1}{2} (e^4 – 1)$

 

FINE