$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il seguente limite

Per questo genere di limiti, è d’abitudine procedere con la razionalizzazione.

Si ha

$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$

Moltiplicando e dividendo per $sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)$ otteniamo:

$lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2))*frac{sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)}{sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)}$

$lim_(x->+infty)(x^2+x+1-(3+x^2))/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$

Togliendo le parentesi al numeratore e sommando si ottiene

$lim_(x->+infty)(x-2)/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$

Ora evidenziamo dentro le radici un termine $x^2$ e poi portiamo fuori, ottenendo

$lim_(x->+infty)(x-2)/(|x|(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2))$

(abbiamo messo $sqrt(x^2)=|x|$ in evidenza in ambo le radici e poi lo abbiamo raccolto)

Ora $|x|=x$ per $x->+infty$ per cui

$lim_(x->+infty)(x-2)/(x(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))=lim_(x->+infty)(x-2)/(2x)=1/2$

Infatti dentro la parentesi al denominatore i termini con la $x$ scompaiono perchè essa tende a infinito, rimane dunque solo

$sqrt1+sqrt1$ ovvero $2$

Se invece il limite fosse stato per $x->-infty$, allora $|x|=-x$ per cui con gli stessi calcoli avremmo trovato che

$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$=$lim_(x->-infty)(x-2)/((-x)(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))$=

$lim_(x->-infty)(x-2)/(-2x)=-1/2$

FINE