$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il limite seguente

$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$

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La forma è indeterminata, del tipo $1^infty$

Procediamo come segue

$((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=((2+e^(2x)+1)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=(1+1/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$

 

La forma si sta avvicinando a quella del famoso limite notevole

Ora facciamo in modo che l’esponente e il numeratore siano uguali, in modo da poter applicare tale limite.

Moltiplicando e dividendo l’esponente per $2+e^(2x)$ si ottiene

$[(1+1/(2+e^(2x)))^(2+e^(2x))]^((x+e^x)/(2+e^(2x)))$

e ricordando che:

${(lim_(xto +oo)(1+1/(2+e^(2x)))^(2+e^(2x))=lim_(y to+oo)(1+1/y)^y=e),(lim_(xto +oo)(x+e^x)/(2+e^(2x))=lim_(xto +oo)(e^x*(x*e^(-x)+1))/(e^(2x)*(2e^(-2x)+1))=0):}$

troviamo facilmente:

$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=e^0=1$.

Il risultato poteva essere previsto, infatti notiamo che

$2+e^(2x)$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x+e^x$, pertanto l’esponente non riesce a far convergere il limite a $e$, ma predomina l’ $1$ della base.

FINE