A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to +infty} frac{sin(frac{1}{x})}{sqrt{3x^2 + 1} – sqrt{3x^2 – 1}}$


Il limite si presenta sotto la forma
$frac{0}{infty – infty}$
Moltiplicando a numeratore e denominatore per $sqrt{3x^2 + 1} + sqrt{3x^2 – 1}$ si ottiene
$lim_{x to +infty} frac{sin(frac{1}{x}) (sqrt{3x^2 + 1} + sqrt{3x^2 – 1})}{3x^2 + 1 – 3x^2 + 1} = lim_{x to+infty} frac{1}{2} sin(frac{1}{x}) (sqrt{3x^2 + 1} + sqrt{3x^2 – 1})$
Mettendo in evidenza $sqrt{x^2}$ si ottiene
$lim_{x to +infty} frac{1}{2} sin(frac{1}{x}) sqrt{x^2} (sqrt{3 + frac{1}{x^2}} + sqrt{3 – frac{1}{x^2}})$
Dato che $sqrt{x^2} = |x|$, e dato che per $x > 0$ risulta $|x| = x$, allora il limite diventa
$lim_{x to +infty} frac{1}{2} sin(frac{1}{x}) cdot x cdot (sqrt{3 + frac{1}{x^2}} + sqrt{3 – frac{1}{x^2}}) = lim_{x to +infty} frac{1}{2} frac{sin(frac{1}{x})}{frac{1}{x}} (sqrt{3 + frac{1}{x^2}} + sqrt{3 – frac{1}{x^2}})$
Ricordando il limite notevole
$lim_{x to pm infty} frac{sin(frac{1}{x})}{frac{1}{x}} = 1$
il risultato del limite è
$lim_{x to +infty} frac{1}{2} frac{sin(frac{1}{x})}{frac{1}{x}} (sqrt{3 + frac{1}{x^2}} + sqrt{3 – frac{1}{x^2}}) = frac{1}{2} cdot 1 cdot (sqrt{3} + sqrt{3}) = frac{1}{2} cdot 2sqrt{3} = sqrt{3}$
FINE