A cura di: Antonio Bernardo

$lim_(x to +infty)((log(x^3+1))/x)$

relativamente all’argomento del logaritmo, eleviamo al cubo ed estraiamo la radice cubica, il che non modifica il valore dell’argomento del logaritmo

$lim_(x to +infty)((log(root(3)(x^3+1)^3))/x)$

applicando le proprietà dei logaritmi

$lim_(x to +infty)(3(log(root(3)(x^3+1)))/x)$

moltiplichiamo e dividiamo per la radice cubica

$3lim_(x to +infty)((log(root(3)(x^3+1)))/root(3)(x^3+1) * root(3)(x^3+1)/x)$

Calcoliamo la prima parte del limite

$lim_(x to +infty)((log(root(3)(x^3+1)))/root(3)(x^3+1))$

sostituendo $t=root(3)(x^3+1)$ e ossernando che $lim_(x to infty)(t)=+infty$ si ha

$lim_(x to +infty)(logt/t)=0$ è un limite notevole

Calcoliamo ora la seconda parte del limite

$lim_(x to +infty)(root(3)(x^3+1)/x)=lim_(x to infty)(root(3)((x^3+1)/x^3))=$

$lim_(x to +infty)(root(3)(x^3/x^3+1/x^3)) = root(3)(1)=1$

In definitiva il limite da calcolare è dato da

$3*0*1=0$