A cura di: Stefano Sannella

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Calcolare

$lim_{x to infty}(x-sqrt(x^2+3))/(x-sqrt(x^2+x-3))$


Dobbiamo distinguere 2 casi per$x->+oo$ e per $x->-oo$

per $x->+oo$

Razionalizzando numeratore e denominatore ottieniamo (moltiplicando per $(x+sqrt(x^2+x-3)$)
$lim_{x to +infty}((x^2-x^2-3)(x+sqrt(x^2+x-3)))/((x^2-x^2-x+3)(x+sqrt(x^2+3)))=lim_{x to +infty}(-3(x+sqrt(x^2+x-3)))/((-x+3)(x+sqrt(x^2+3)))=0$

perché il grado del denominatore è più alto di quello del numeratore. Oppure raccogliamo una x a numeratore e a denominatore e semplifichiamo.

per $x->-oo$ basta raccogliere $x$ a numeratore e a denominatore e semplificare.
$lim_{x to -infty}(x-sqrt(x^2+3))/(x-sqrt(x^2+x-3))=lim_{x to -infty}(x-|x|sqrt(1+3/x^2))/(x-|x|sqrt(1+1/x-3/x^2))=lim_{x to -infty}(x+xsqrt(1+3/x^2))/(x+xsqrt(1+1/x-3/x^2))=lim_{x to -infty}(x(1+sqrt(1+3/x^2)))/(x(1+sqrt(1+1/x-3/x^2)))=2/2=1$

Ricordiamo che per $x->-oo$ si ha che $sqrt(x^2)=|x|=-x$

FINE