A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to 0} frac{log_{a}(x + 2) – log_{a}(2)}{x}$

 

al variare di $a > 0$.

 


Ricordando le proprietà dei logaritmi, il limite diventa

 

 

$lim_{x to 0} frac{1}{x} log_{a}(frac{x+2}{2}) = lim_{x to 0} frac{1}{x} frac{ln(frac{x+2}{2})}{ln(a)} =$

 

$= frac{1}{ln(a)} lim_{x to 0} frac{1}{x} ln(1 + frac{x}{2}) = frac{1}{ln(a)} lim_{x to 0} ln(1 + frac{x}{2})^{frac{1}{x}}$

 

Ponendo $frac{x}{2}= t$ si ottiene

 

$frac{1}{ln(a)} lim_{t to 0} ln(1 + t)^{frac{1}{2t}} = frac{1}{ln(a)} ln[((1 + t)^{frac{1}{t}})^{frac{1}{2}}]$

 

Ricordando il limite notevole

 

$lim_{x to 0} (1 + x)^{frac{1}{x}} = e$

 

si ottiene

 

$frac{1}{ln(a)} ln[((1 + t)^{frac{1}{t}})^{frac{1}{2}}] = frac{1}{ln(a)} ln(e^{frac{1}{2}}) = frac{1}{2 ln(a)}$

 

FINE