A cura di: Gianni Sammito
Studiare al convergenza semplice e assoluta della seguente serie a termini di segno alterno
$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n log(1 + frac{1}{n})$
Dato che $1 + frac{1}{n} > 1$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$ allora $log(1 + frac{1}{n}) > 0$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$, pertanto la serie è effettivamente a termini di segno alterno.
Visto che
$1 + frac{1}{n + 1} < 1 + frac{1}{n}$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$
allora la successione ${1 + frac{1}{n}}_{n ge 1}$ è monotona decrescente, pertanto anche la successione ${log(1 + frac{1}{n})}_{n ge 1}$ è monotona decrescente, visto che il logaritmo in base $e$ è una funzione monotona crescente. Pertanto la serie proposta converge semplicemente per il criterio di Leibniz.
Per studiare la convergenza assoluta occorre considerare la serie
$sum_{n=1}^{+infty} |(-1)^n log(1 + frac{1}{n})| = sum_{n=1}^{+infty} |log(1 + frac{1}{n})| = sum_{n=1}^{+infty} log(1 + frac{1}{n})$
per quanto detto prima sulla positività di $log(1 + frac{1}{n})$ quando $n=1,2,ldots$.
Osservando che
$lim_{n to +infty} frac{log(1 + frac{1}{n})}{frac{1}{n}} = 1$
si nota che
$log(1 + frac{1}{n}) sim frac{1}{n}$
Ma
$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n}$
diverge, perché è una serie armonica con esponente pari a $1$, pertanto la serie proposta non converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico.
FINE
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