A cura di: Stefano Sannella
{etRating 3}
Studio della funzione $f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}$
Trovare:
1)Il dominio
2)Eventuali intersezioni con gli assi
3)Eventuali simmetrie
4)Eventuali asintoti
5)Intervalli di crescenza e decrescenza della funzione
1)
Osservando la funzione, si nota che bisogna solo escludere i punti per i quali si ha il denominatore nullo.
Per il resto, la funzione esponenziale
$f(t)=e^t$ è definita $foralltinRR$
Perciò si ha solo
$|x|-1!=0$
ovvero
$x!=+-1$
2)
E’ inutile cercare eventuali intersezioni con l’asse delle ascisse: infatti la funzione esponenziale è strettamente positiva in ogni punto del dominio.
Per quanto riguarda l’asse delle ordinate, si deve risolvere il sistema
${(x=0),(y=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}):}$
Sostituendo
${(x=0),(y=e^9):}$
Quindi il punto è $A=(0,e^9)$
3)
La funzione è pari: questo implica che vi è una simmetria rispetto all’asse delle ordinate.
Si può facilmente provare la parità dal momento che risulta
$f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=e^{(4(-x)^2-9)/(|-x|-1)}=f(-x)$
4)
Cerchiamo eventuali asintoti verticali.
Osserviamo il comportamento della funzione negli intorni di $1$ e $-1$
$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=e^((-5)/(0^+))=e^(-oo)=0^(+)$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=e^((-5)/(0^-))=e^(+infty)=+oo$
$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=e^((-5)/0^-)=e^(+oo)=+oo$
$lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(-x-1))=e^((-5)/(0^+))=e^(-oo)=0$
Quindi $x=+-1$ asintoto verticale
Asintoti obliqui non ci sono perchè
$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$
$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$
5)
Se $x>0$
$f'(x)=e^((4x^2-9)/(x-1))*((4x^2-8x+9)/(x-1)^2)$
per cui per $x in (0,1)$ U $(1,+infty)$, la funzione è sempre crescente
Se $x<0$
$f'(x)=e^((4x^2-9)/(-x-1))*((-4x^2-8x-9)/(-x-1)^2)$
per cui per $x in (-infty,-1)$ U $(-1,0)$ la funzione è sempre decrescente
FINE
- Studio di Funzione