$lim_(x->oo) (xe^(1/x) - x)$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il limite seguente
$lim_(x->oo) (xe^(1/x) – x)$

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Possiamo notare, più o meno facilmente, che il limite cela una forma notevole, che può venir fuori apportando un’opportuna sostituzione.

Ponendo ad esempio
$1/x=t$ da cui $x=1/t$
si ha che $t->0$ poichè al primo membro $x$ tende a infinito.

Sostituiamo nel limite originario e otteniamo
$lim_(x->oo) (xe^(1/x) – x)=lim_(t->0)(1/te^t-1/t)=lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$

L’ultimo passaggio è giustificato dal fatto che
$lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$ è un limite notevole

FINE