$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\ln(1-x))}{\sin(x)}$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to 0} frac{sin(ln(1-x))}{sin(x)}$ (1)

 

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Ponendo $t = -x$, e ricordando che il seno è una funzione dispari, (1) diventa

 

 

$lim_{t to 0} – frac{sin(ln(1 + t))}{sin(t)} = lim_{t to 0} – frac{sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} frac{ln(1 + t)}{sin(t)} = lim_{t to 0} – frac{sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} frac{ln(1 + t)}{t} frac{t}{sin(t)}$ (2)

 

Ricordando i limiti notevoli

 

$lim_{u to 0} frac{sin(u)}{u} = 1 quad lim_{u to 0} frac{ln(1 + u)}{u} = 1$

 

e considerando che se $t to 0$ allora $ln(1 + t) to 0$ si ottiene

 

$lim_{t to 0} – frac{sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} frac{ln(1 + t)}{t} frac{t}{sin(t)} = -1 cdot 1 cdot 1 = -1$

 

FINE