A cura di: Gianni Sammito
Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale
$f(x) = x e^{-frac{1}{x}}$
Il prodotto fra due termini è definito laddove sono definiti i due fattori, allo stesso modo un esponenziale è definito laddove è definito l’esponente, pertanto il dominio massimale di questa funzione è
${x in mathbb{R}: x ne 0}$
Dato che $f(x) ne f(-x)$ e allo stesso tempo $f(x) ne -f(-x)$ la funzione non è né pari né dispari. Visto che $f$ è data dalla composizione di funzioni continue, allora nel suo dominio è continua.
$f(x) = o quad implies quad x=0$, considerando che tale punto non appartiene al dominio, si deduce che non ci sono intersezioni fra il grafico della funzione e gli assi cartesiani.
$e^{-frac{1}{x}} > 0 quad forall x in mathbb{R} setminus {0}$
pertanto la funzione è positiva se $x>0$ e negativa se $x < 0$.
$lim_{x to 0^{+}}x e^{-frac{1}{x}} = 0 cdot e^{-infty} = 0$
$lim_{x to 0^{-}} = x e^{-frac{1}{x}} = lim_{x to 0^{-}} frac{e^{-frac{1}{x}}}{frac{1}{x}}$
Sfruttando il teorema di de l’Hopital si ottiene
$lim_{x to 0^{-}} frac{e^{-frac{1}{x}}}{frac{1}{x}} = lim_{x to 0^{-}} frac{e^{-frac{1}{x}} frac{1}{x^2}}{frac{1}{x^2}} = lim_{x to 0^{-}} e^{-frac{1}{x}} = -infty$
Pertanto il grafico della funzione ammette come asintoto verticale sinistro la retta di equazione $x=0$.
$lim_{x to +infty} x e^{-frac{1}{x}} = +infty$
$lim_{x to -infty} x e^{-frac{1}{x}} = -infty$
quindi non ci sono asintoti orizzontali.
$m = lim_{x to pm infty} frac{x e^{-frac{1}{x}}}{x} = 1$
$q = lim_{x to pm infty} x e^{-frac{1}{x}} – x = lim_{x to pm infty} x (e^{-frac{1}{x}} – 1) = lim_{x to pm infty} – frac{e^{-frac{1}{x}} – 1}{-frac{1}{x}} = -1$
dove all’ultimo passaggio è stato sfruttato il limite notevole
$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$
Dai calcoli precedenti si nota che la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione $y = x – 1$.
La derivata priam dela funzione vale
$f'(x) = e^{-frac{1}{x}} + x e^{-frac{1}{x}} cdot frac{1}{x^2} = e^{-frac{1}{x}} (1 + frac{1}{x})$
La $f$ è data dalla composizione continue e derivabili, pertanto nel suo dominio è continua e derivabile.
$f'(x) = o implies 1 + frac{1}{x} = 0 implies x = -1$
$f'(x) > 0 implies 1 + frac{1}{x} > 0 implies x < -1$
Dato che in $-1$ la funzione passa da essere crescente a decrescente, considerando che $f(-1) = -e$, si deduce che il punto $(-1, -e)$ è un minimo. Visto che $-e < -1 -1$ si nota che il minimo si trova sotto all’asintoto obliquo, ovvero nella parte di piano $y le x – 1$.
La derivata seconda della funzione vale
$f”(x) = e^{-frac{1}{x}} frac{1}{x^2} + (-frac{1}{x^2}) e^{-frac{1}{x}} + frac{1}{x^3} e^{-frac{1}{x}} = frac{1}{x^3} e^{-frac{1}{x}}$
La derivata seconda non si annulla mai, pertanto non ci sono punti di flesso a tangente obliqua. Dal segno della derivata seconda si nota che la funzione è concava per $x < 0$ e convessa per $x > 0$. Dai calcoli svolti si può concludere che non ci sono intersezioni fra il grafico della funzione e l’asintoto obliquo.
L’immagine della funzione coincide con l’insieme
$(-infty, -e] cup (0, +infty)$
Questo è il grafico della funzione
FINE
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