Volume massimo di un cilindro inscritto in un cono [ES-Mm0001]

A cura di: Nicola Vitale

Si dimostri che tra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto, ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte dell'altezza del cono.

 

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${(h = text{altezza cono}), (r = text{raggio cono}):}$

${(x = text{altezza cilindro}),(r' = text{raggio cilindro}),(0 < x <h):}$

$V = text{volume cilindro}$

  

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Soluzione

 

Dalla similitudine dei triangoli $APB$  e $AOV$ si ha

 

$r: h = (r- r') : x rightarrow r – r' = frac{r}{h} x rightarrow r' = r cdot (1 – frac{x}{h})$

 

$V = pi r^2 (1 – frac{x}{h})^2 cdot x = pi r^2 cdot (1 – frac{2x}{h} + frac{x^2}{h^2}) cdot x = pi cdot r^2 cdot (x – frac{2x^2}{h} + frac{x^3}{h^2})$

 

$V' = pi r^2 cdot (1 – frac{4}{h} x + frac{3}{h} x^2) = 0 rightarrow 3x^2 – 4hx + h = 0$

 

$x_{1,2} = frac{2h pm sqrt{4h^2 – 3h^2}}{3} = frac{2h pm h}{3} rightarrow {(h text{da scartare perché } x ne h),(frac{1}{3} h):}$

 

$x = frac{1}{3} h$ è punto di massimo per $V$, volume del cilindro.